Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание № 1958
i

В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС (∠С > 90°) ВС  =  4 и длины двух дру­гих сто­рон яв­ля­ют­ся це­лы­ми чис­ла­ми. Пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка АВС равен 13. Для на­ча­ла каж­до­го из пред­ло­же­ний A−В под­бе­ри­те его окон­ча­ние 1−6 так, чтобы по­лу­чи­лось вер­ное утвер­жде­ние.

 

НА­ЧА­ЛО ПРЕД­ЛО­ЖЕ­НИЯ

A)  Длина сто­ро­ны АВ тре­уголь­ни­ка АВС равна ...

Б)  Ко­си­нус угла ВАС тре­уголь­ни­ка АВС равен ...

B)  Пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС равна ...

ОКОН­ЧА­НИЕ ПРЕД­ЛО­ЖЕ­НИЯ

1)   дробь: чис­ли­тель: 43, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби

2)  6

3)  5

4)   дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 455 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби

5)   дробь: чис­ли­тель: 29, зна­ме­на­тель: 36 конец дроби

6)   дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 455 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби

 

Ответ за­пи­ши­те в виде со­че­та­ния букв и цифр, со­блю­дая ал­фа­вит­ную по­сле­до­ва­тель­ность букв ле­во­го столб­ца. Пом­ни­те, что не­ко­то­рые дан­ные пра­во­го столб­ца могут ис­поль­зо­вать­ся не­сколь­ко раз или не ис­поль­зо­вать­ся во­об­ще. На­при­мер: А1Б1В4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

На­про­тив ту­по­го угла долж­на ле­жать боль­шая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка, по­это­му AB боль­ше BC=4, от­ку­да AB боль­ше или равно 5. Раз­бе­рем слу­чаи.

1.  Если AB  =  5, то AC=13 минус AB минус BC=4, но тогда

AB в квад­ра­те =25 мень­ше 16 плюс 16=BC в квад­ра­те плюс AC в квад­ра­те

и тре­уголь­ник не ту­по­уголь­ный.

2.  Если AB  =  6, то AC=13 минус AB минус BC=3, тогда

AB в квад­ра­те =36 боль­ше 16 плюс 9=BC в квад­ра­те плюс AC в квад­ра­те

и тре­уголь­ник ту­по­уголь­ный.

3.  Если AB боль­ше или равно 7, то

BC плюс AC=13 минус AB мень­ше или равно 13 минус 7=6 мень­ше 7 мень­ше или равно AB

и та­ко­го тре­уголь­ни­ка не су­ще­ству­ет.

Итак, AB  =  6 и AC  =  3. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

4 в квад­ра­те =6 в квад­ра­те плюс 3 в квад­ра­те минус 2 умно­жить на 3 умно­жить на 6 умно­жить на ко­си­нус \angle BAC,

от­ку­да

16=36 плюс 9 минус 36 ко­си­нус \angle BAC и  ко­си­нус \angle BAC= дробь: чис­ли­тель: 29, зна­ме­на­тель: 36 конец дроби .

На­ко­нец по фор­му­ле Ге­ро­на пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 455 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ответ: А2Б5В4.


Аналоги к заданию № 1958: 2022 Все

Источник: Цен­тра­ли­зо­ван­ное те­сти­ро­ва­ние по ма­те­ма­ти­ке, 2022
Сложность: II
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ник